PRÁCTICA 3. SIMULINK

1. Respuesta temporal

El enunciado de la práctica nos pide realizar con Simulink un diagrama para k=12.

Para dibujar este diagrama lo que hacemos es abrir el Matlab, pinchar en la figura de colores de la barra de herramientas (icono de Simulink) que es el que aparece en la figura de abajo:

Después pulsar en: File - New - Model y se abre dos nuevas ventanas como las que vemos en la figura de abajo:

La ventana de la derecha es en la que elegiremos los símbolos que vamos a colocar en el diagrama. Estos símbolos se colocan el la ventana de la izquierda y para ello solo hay que arrastrarlos.

Una vez que hayamos colocado todos los símbolos y, por tanto, completado el diagrama que queríamos dibujar nos quedará una cosa como esta:

Hacemos el dibujo tal y como lo vemos en el enunciado y posteriormente cuando lo pasemos a Matlab le daremos a K el valor que se nos pide en el enunciado, que en este caso es 12. Simulamos el circuito pulsando en Simulate como se ve en la imagen:

También podemos simularlo pulsando directamente el símbolo del play.

Ahora, tras simular el circuito vemos la gráfica que nos sale representada en Matlab.

Ahora ya se obtiene la función de transferencia de una manera sencilla y nos queda lo que vemos en esta figura:

Para hacer la parte 2 del ejercicio hay que cambiar la función "step" por una función sinusoidal y en este ejemplo ponemos la función "sine wave" como se ve en la figura:

Al igual que en el apartado anterior lo que hay que hacer ahora es simular el circuito y al hacerlo obtenemos la siguiente gráfica:

Como podemos comprobar, la función resultante es una función exponencial.

Este ejemplo está hecho para k=12, para otros valores diferentes de k la función resultante sería también exponencial aunque variaría ligeramente. En la siguiente imagen se ve la función del mismo circuito de antes pero en este caso poniendo que k=5.

Con esta función (sine wave) también se pueden variar los valores de omega (w)y del tiempo (t).

PRÁCTICA 2

1.- RESPUESTA DE FRECUENCIA

       La figura representa un sistema mecánico formado por una masa m=1, unida a una pared con un muelle con constante elástica k=2 y un amortiguador con constante de amortiguación b=0.3. La entrada es la fuerza u(t)=sin wt y la salida el desplazamiento y (t) de la masa.

1.1. Obtener la expresión de la respuesta de frecuencia

     Como hemos visto en clase la manera de obtener la expresión de la respuesta de frecuencia es la siguiente:

       Obviamente la respuesta de frecuencia depende del modulo (M) y del argumento (phi), aparece representado en una tabla y esa seria la expresión de la respuesta de frecuencia.

1.2. Representar el diagrama de Nyquist

       Como ya sabemos G(s)=1/((s+1)*(s+2)*(s+3)) y para representar este diagrama en Matlab se hace fácilmente poniendo los valores de la función G(s) del numerador y del denominador y llamando a la función Nyquist. Para verlo mejor, vamos a verlo en la siguiente imagen:

1.3. Representar el diagrama de Bode

       Ahora vamos a ver como se representa el diagrama de Bode, aunque como sabemos una vez representado el diagrama de Nyquist solo hace falta llamar a esta función como lo vamos a ver en la siguiente imagen:

2.- MÁRGENES DE GANANCIA Y DE FASE

Ahora vamos a dar valores los siguientes valores: a=7; b=7; H=1; k falta por determinar.

Para resolver el ejercicio hay que simplificar esta función y lo hacemos de la siguiente manera:

3.- LUGAR DE LAS RAÍCES

   Partiendo de la simplificación del ejercicio anterior hay que representar el lugar de las raíces y para ello lo hacemos con la función rlocus:

Podemos incluso pasarlo de forma numérica a forma simbólica y para eso se hace la función poly2sym, aunque no haría falta hacerlo para representar la función. Lo vemos en la siguiente imagen:

       Con esto queda representada la función mediante la herramienta rlocus.

      Una vez hecho esto podemos dar por finalizada la práctica 2.

PRÁCTICA 1.- MANEJO BÁSICO DE MATLAB

Véase Tabla de transformadas de Laplace 


Práctica 1. Parte 2.- Modelos matemáticos

Dada la ecuación diferencial a2 x'' (t) + a1 x '(t) + a0 x(t) = b1 u (t) + b0 u(t) vamos a intentar resolverla mediante diferentes formas:

-Solución numérica de una EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria) mediante ode23:
Ode23 es una función de Matlab que con los números 2 y 3 indica el grado de la ecuación diferencial que podemos usar. Hay otra función como la ode45 que permite hacer ecuaciones de cuarto y quinto grado por ejemplo.
Antes de llamar a la función ode23 hay que poner la función que queremos llamar y para ello hay que hacerlo de esta manera:

Es muy importante que guardemos el archivo con el mismo nombre que la función (f en este caso).
Ahora hay que llamar a la función ode23. Para ello lo escribimos de esta manera:

[t,x] = ode23 ( ' f ' , tspam , x0 )

En donde f es la función a la que queremos llamar, tspam son el primer y el ultimo valor que queremos dar a t y a x en este caso y x0 es el valor nicial de x.

-Modelo interno. Resolución numérica y simbólica.
Para este método hay que hacer unos cambios de variable en la EDO dicha y el resultado que obtengamos hay que ponerlo de forma matricial. Tras introducirlo en Matlab obtenemos la función de transferencia que es lo que queremos obtener y con ello la gráfica que queremos.
Para resolverlo de manera numérica damos valores a las incógnitas obtenidas.

-Modelo externo. Resolución numérica y simbólica.
Para resolver la EDO por el modelo externo primero hay que suponer unas condiciones iniciales, es decir dar valores a las incógnitas y luego aplicaremos la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación. Despejamos la ecuación y obtenemos la función de transferencia. Al igual que en el modelo interno obtenemos una gráfica.
Para obtener el resultado de forma numérica solo haría falta, al igual que en el modelo interno, dar valores a las incógnitas obtenidas.

-Obtener la función de transferencia G= C*(s*I-A)^-1*B+D a partir del modelo interno
Vamos a hacerlo como hemos explicado en este primer punto. Para ello vamos a dar los valores dichos en clase que son: k=2; b=0,1; m=1

Y para ver la función de transferencia ponemos lo siguiente:

Y nos queda lo siguiente:

Videos sobre como hacer la Transformada de Laplace

En estos videos se puede aprender de una forma sencilla como resolver la Transformada de Laplace

Tabla de transformadas de Laplace

f(t)	F(s)
\[dirac(t)\]	\[1\]
\[heaviside(t)\]	\[\frac{1}{s}\]
\[t\]	\[\frac{1}{s^2}\]
\[t^2\]	\[\frac{2}{s^3}\]
\[e^t\]	\[\frac{1}{s-1}\]
\[e^{-t}\]	\[\frac{1}{s+1}\]
\[e^{-at}\]	\[\frac{1}{a+s}\]
\[cos(\omega*t)\]	\[\frac{s}{s^2+\omega ^2}\]
\[sin(\omega*t)\]	\[\frac{\omega}{s^2+\omega ^2}\]

Ejemplo de operación matemática

\[\int\sqrt{\frac{1}{2}x^2+\frac{4x3x}{\sqrt{5}}}dx\]

Ejemplos de control automático